(干货）一级注册计量师(第五版)第三章——测量数据的处理

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——我是牵黔浅唱丶

测量数据的处理测量误差的处理与评价系统误差的发现和减小系统误差影响的方法1️⃣系统误差的发现①在规定的测量条件下多次测量同一个被测量，从被测量的测得值与计量标准所复现的量值之差可以发现并得到恒定系统误差的估计值。②在测量条件（如时间、温度、频率等）改变时，测得值按某一确定的规律变化，可能是线性的或非线性的增大或减小，确定规律变化说明测量结果中存在可变的系统误差。2️⃣减小系统误差影响的方法①采用修正的方法对系统误差的已知部分，用对测量仪器的示值进行修正的方法来减小系统误差的影响。②采用在实验过程中尽可能减少或消除一切产生系统误差因素的方法③选择使系统误差抵消而不致代入测得值中的方法恒定系统误差消除法异号法：改变测量中的某些条件，使两种条件下的测得值的误差的符号相反，取平均值以消除系统误差。交换法：适当交换测量中的某些条件，设法使两次测量的误差源对测得值的作用相反，从而抵消系统误差。替代法：保持测量条件不变，先用某一量值的标准器替代被测件再作测量，使指示仪器的指示不变或指零，这是被测量等于已知的标准量，达到消除系统误差的目的。可变系统误差消除法用对称测量法消除线性系统误差合理地设计测量顺序可以消除测量系统的线性漂移或周期性变化引入的系统误差。“标准——被校——被校——标准”用半周期偶数测量法消除周期性系统误差3️⃣修正系统误差影响的方法①在原测得值上加修正值修正值的大小等于系统误差估计值的大小，但符号相反。画修正曲线制定修正值表②对原测得值乘修正因子修正因子等于标准值与未修正测得值之比

修正值和修正因子都是有不确定度的。使用已修正测得值时，该测得值的不确定度应考虑由于修正不完善引入的不确定度。用实验标准偏差估计随机误差影响的方法1️⃣几种常用的实验标准偏差的估计方法①贝塞尔公式

残差平方的和除以自由度再开根号。②极差法从有限次独立重复侧量的一列观测值中找出最大值和最小值。得到极差R=x_{max}max_{max}max-x_{min}min_{min}min​，实验标准偏差的估计：极差除以极差系数

③较差法从有限次独立重复测量的一列观测值中，将每次观测值与后一次观测值比较得到差值。测量时间间隔内漂移量的标准偏差，映观测数据漂移的分散性。

2️⃣各种估计方法的比较贝塞尔公式法：适用于各种分布类型。在GUM中，都是采用这类直接利用方法的计算方式。极差法：突出优点是计算量小。较差法：适用于随机过程的方差分析。算术平均值及其实验标准偏差的计算1️⃣算术平均值的计算

2️⃣算术平均值实验标准偏差的计算

增加测量次数，用多次测量的算数平均值作为被测量的最佳估计值，可以减小随机误差，或者说，减小由于各种随机影响引入的不确定度。3️⃣算术平均值的应用一般用算术平均值作为测量结果的值。则此时的算术平均值的实验标准偏差就是用A类评定得到的由重复性引起的标准不确定度。异常值的判别和剔除1️⃣什么是异常值定义：测量中，因测量条件、测量仪器或人员操作等出现异常得到的不正常的测量结果。偶然误差、粗大误差如果对一个被测量重复观测所得的若干结果中出现了其他值偏离较远且不符合统计规律的个别值，称之为：离群值。正确地判别和剔除异常值。2️⃣判别异常值常用的统计方法①拉依达准则（3σ准则）在重复观测次数充分大的前提下（n》10）。

即\frac{|x_d-\overline{x}|}{s}\geqslant3∣xd−x‾∣s⩾3\frac{|x_d-\overline{x}|}{s}\geqslant3s∣xd​−x∣​⩾3即\frac{残差}{s}\geqslant3残差s⩾3\frac{残差}{s}\geqslant3s残差​⩾3②格拉布斯准则

即\frac{|x_d-\overline{x}|}{s}\geqslant{G(a,n)}∣xd−x‾∣s⩾G(a,n)\frac{|x_d-\overline{x}|}{s}\geqslant{G(a,n)}s∣xd​−x∣​⩾G(a,n)即\frac{残差}{s}\geqslant{特定值}残差s⩾特定值\frac{残差}{s}\geqslant{特定值}s残差​⩾特定值③狄克逊准则

3️⃣三种判别准则的比较拉依达准则最简便，只适用于n>10的情况。格拉布斯准则和狄克逊准则都适用与n≥3的情况。实际工作中，可以选用多种准则同时进行。若结论相同，可以放心。若结论出现不同，则应慎重。测量重复性和测量复现性的评定1️⃣测量重复性的评定①检定或校准结果的重复性评定定义：在重复性测量条件下，用计量标准对常规被检定或被校准对象重复测量所得示值或测得值间的一致程度。重复性测量条件：相同的测量程序、相同的观测者、相同的条件、相同的计量标准、相同的地点、短时间内重复。通常用实验标准偏差表示。②测量重复性评定在评定重复性时，通常n=10。在被测量估计值的不确定度评定中，当被测量估计值由单次测量得到时，由重复性引入的标准不确定度分量s_r(y)sr(y)s_r(y)sr​(y);当被测量估计值由n次重复测量的平均值得到时，由重复性引入的标准不确定度分量为\frac{s(y_i)}{\sqrt{n}}s(yi)n\frac{s(y_i)}{\sqrt{n}}n​s(yi​)​。2️⃣测量复现性的评定

定义：不同地点、不同操作者、不同测量系统对同一或类似被测对象进行重复测量的测量结果之间的一致性。测量复现性中所涉及的测得值通常指已修正的结果，特别是在改变测量仪器和计量标准后，不同仪器和不同标准均由其修正值。加权算术平均值及其实验标准偏差和标准不确定度的计算方法1️⃣计算公式

计算公式：平均值=乘以权值后相加再除以各权相加加权平均的权与每个参与计算的测得值的试验标准偏差的二次方成反比。W_ii_ii​=\frac{1}{u^2_i}1ui2\frac{1}{u^2_i}ui2​1​2️⃣加权算术平均值的试验标准偏差和标准不确定度的计算\sqrt{\frac{权值乘以残差的平方再求和}{自由度乘以权值相加}}权值乘以残差的平方再求和自由度乘以权值相加\sqrt{\frac{权值乘以残差的平方再求和}{自由度乘以权值相加}}自由度乘以权值相加权值乘以残差的平方再求和​​.

计量器具误差的表示与评定1️⃣最大允许误差的表示形式定义：给定测量仪器的规程或规范所允许的示值误差的极限值。是生产厂规定的测量仪器的技术指标，又称误差限。表示形式：绝对误差形式相对误差形式引用误差形式组合形式2️⃣计量器具示值误差的评定定义：计量器具的示值与相应测量标准提供的量值之差。示值误差=示值-标准值示值误差的评定方法：比较法分部法组合法相对误差、绝对误差的计算引用误差的计算特定值又称引用值，通常是仪器量程或标称范围的上限值（或称满刻度值）。3️⃣检定时判定计量器具合格或不合格的判据①什么是符合性判定又称计量器具的合格评定，就是评定仪器的示值误差是否在最大允许误差范围内，也就是评定测量仪器是否符合其技术指标要求，凡符合要求的判为合格。②检定时测量仪器示值误差符合性评定的基本要求(评定示值误差的测量不确定度(U_{95}95_{95}95​或k=2时)与被评定测量仪器的最大允许误差的绝对值（MPEV）之比小于或等于1/3.即：U_{95}\leqslant\frac{1}{3}95⩽13_{95}\leqslant\frac{1}{3}95​⩽31​MPEV。此时，可认为测量不确定度对符合性评定的影响可忽略不计。|△|\leqslant⩽\leqslant⩽MPEV，判为合格。|△|\geqslant⩾\geqslant⩾MPEV，判为不合格。对应型式评价和仲裁检定。必要时，U_{95}95_{95}95​和MPEV的比值为1/5。使用检定规程去检定时，不需要考虑不确定度对符合性评定的影响。③考虑示值误差的测量不确定度的符合性评定当U_{95}\ge\frac{1}{3}95≥13_{95}\ge\frac{1}{3}95​≥31​MPEV时|△|\le≤\le≤MPEV-U_{95}95_{95}95​，判为合格；|△|\ge≥\ge≥MPEV+U_{95}95_{95}95​，判为不合格；当MPEV-U_{95}95_{95}95​＜|△|＜MPEV+U_{95}95_{95}95​，判为待定。当测量仪器示值误差的评定处于不能做出符合型判定时，可以先用准确度更高的计量标准、改善环境条件、增加测量次数和改善测量方法等措施降低示值误差的测量不确定度。计量器具其他一些计量特性的评定1️⃣准确度等级①按最大允许误差评定准确度等级②按示值的校准关系的测量不确定度评定准确度等级③测量仪器有多个测量范围或可测量多个参数时准确度等级的评定2️⃣分辨力测量仪器的示值就是其测得值时，测量分辨力和显示装置分辨力相等。通常通过测量仪器的显示装置或读数装置能有效辨别的示值最小变化来评定测量仪器的数字显示装置的分辨力：最低位数字显示变化一个步进量时的示值差。如：数字电压表最低位数字显示变化一个字的示值差为1 μV，则分辨力为1 μV。用标尺读数装置：不做内插细分，显示装置的分辨力为标尺上任意两个相邻标记之间最小分度值的一半。如线纹尺的最小分度值为1mm，则分辨力为0.5mm。3️⃣灵敏度输出量/输入量

对于线性测量仪器来说，灵敏度是一个常数。4️⃣鉴别阀

⑦鉴别阀（灵敏阀）（灵敏限）：5️⃣稳定性

⑩测量仪器的稳定性：6️⃣漂移⑪仪器漂移：

7️⃣响应特性①响应特性：

测量不确定度的评定与表示测量不确定度评定相关的统计知识1️⃣概率分布定义：指用于表述随机变量取值的概率规律。常用概率分布函数和概率密度函数定量表示。2️⃣概率分布的数学期望、方差和标准偏差①数学期望又称为（随机变量的）均值。常用符号μ或E(X)表示。期望是决定概率密度函数曲线位置的量。②方差

反映了随机变量在所有可能取值的统计平均幅度的大小和测得值的分散程度。③标准偏差

方差的正平方根值。表明随机变量取值分散性的参数，值小表明取值比较集中。④用期望和标准偏差表征概率密度函数

期望和偏差是概率密度函数的两个特征参数。3️⃣有限次测量时的算术平均值和实验标准偏差①算术平均值②实验标准偏差4️⃣正态分布

5️⃣常用的非正态分布①均匀分布标准偏差：\frac{α_+-α_-}{\sqrt{12}}α+−α−12\frac{α_+-α_-}{\sqrt{12}}12​α+​−α−​​,在a对称的情况下，：\frac{α}{\sqrt{3}}α3\frac{α}{\sqrt{3}}3​α​.②三角分布标准偏差：\frac{α}{\sqrt{6}}α6\frac{α}{\sqrt{6}}6​α​.③梯形分布标准偏差：\frac{α\sqrt{1+β^2}}{\sqrt{6}}α1+β26\frac{α\sqrt{1+β^2}}{\sqrt{6}}6​α1+β2​​.④反正弦分布标准偏差：\frac{a}{\sqrt{2}}a2\frac{a}{\sqrt{2}}2​a​.⑤几种有确定半宽度的非正态分布

⑥t分布6️⃣相关性和相关系数①相关性描述两个随机变量间的相互依赖关系的特性。②协方差对两个随机变量相互依赖性的度量。

③相关系数对两个随机变量之间相互依赖型的度量，等于两个随机变量间的协方差除以它们各自的方差乘积的正平方根。④相关系数与协方差的关系相关系数是一个纯数字。在-1到+1之间取值。表示两个量的相关程度。相关系数为0，表示两个量不相关。相关系数的绝对值为1，表示两个量完全相关。+1表示完全正相关。-1表示完全负相关。GUM法评定测量不确定度的步骤和方法1️⃣GUM法评定测量不确定度的步骤

①明确被测量，必要时给出定义及测量过程的描述②分析不确定度的来源并写出测量模型③评定测量模型中的各输入量的标准不确定度u(x_i)u(xi)u(x_i)u(xi​)，计算灵敏系数c_icic_ici​，从而给出与各输入量相对应的输出量yyyy的不确定度分量u_i(y)=|c_i|u(x_i)ui(y)=∣ci∣u(xi)u_i(y)=|c_i|u(x_i)ui​(y)=∣ci​∣u(xi​).④计算合成标准不确定度u_c(y)uc(y)u_c(y)uc​(y)，若相关，需考虑相关性。⑤列出不确定度分量的汇总表，表中应给出每一个不确定度分量的详细信息。⑥对被测量的概率分布进行估计，并根据概率分布和所要求的包含概率pppp确定包含因子kkkk.⑦无法确定被测量yyyy的概率分布时，可以直接取包含因子k=2k=2k=2k=2.⑧由合成标准不确定度u_c(y)uc(y)u_c(y)uc​(y)和包含因子k或k_pk或kpk或k_pk或kp​的乘积，分别得到扩展不确定度U或U_pU或UpU或U_pU或Up​.⑨给出测量不确定度的最后陈述。2️⃣GUM法评定测量不确定度的方法①分析测量不确定度的来源被测量的定义不完整复现被测量的测量方法不理想取样的代表性不够，即被测样本不能代表所定义的被测量对测量过程受环境影响的认识不恰如其分或对环境的测量与控制不完善对模拟式仪器的读数存在人为偏移测量仪器的计量性能的局限性测量标准或标准物质提供的量值不准确引用的数据或其他参量值不准确测量方法和测量程序的近似和假设在相同条件下被测量在重复观测中的变化②建立测量模型测量模型数学关系式关于测量模型的说明③输入量的标准不确定度的评定❶标准不确定度的A类评定方式㈠基本的标准不确定度的A类评定流程当用算术平均值作为被测量的最佳估计值时。被测量估计值的重复性引入的标准不确定度

㈡测量过程标准不确定度的A类评定合并样本标准偏差

㈢规范化常规测量时标准不确定度A类评定

㈣由最小二乘法拟合最佳直线上得到预期值的标准不确定度的A类评定。

❷标准不确定度的B类评定方式确定半宽度，α

假设区间的概率分布，kB类评定的标准不确定度u=\frac{a}{k}u=aku=\frac{a}{k}u=ka​.B类的评定方法㈠B类评定时可能的信息来源及如何确定可能值的区间半宽度（！！）

㈡B类评定时如何假设可能值的概率分布和确定k值

㈢常用的概率分布与k值的关系

㈣标准不确定度B类评定的示例

㈤B类标准不确定度的自由度

④合成标准不确定度的计算由各标准不确定度分量合成得到。⑴测量不确定度传播律公式：

灵敏系数是一个有符号有单位的量值。⑵输入量间不相关时合成标准不确定度的评定㈠当输入量间不相关，可简化成u_c=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}u^2_i}uc=∑i=1nui2u_c=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}u^2_i}uc​=i=1∑n​ui2​​.㈡当被测量的函数形式为Y=A_1X_1+……+A_NX_NY=A1X1+……+ANXNY=A_1X_1+……+A_NX_NY=A1​X1​+……+AN​XN​，且各输入量不相关时u_c(y)=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}A^2_iu^2(x_i)}uc(y)=∑i=1nAi2u2(xi)u_c(y)=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}A^2_iu^2(x_i)}uc​(y)=i=1∑n​Ai2​u2(xi​)​.㈢当被测量的函数形式为Y=A(X_1^{P_1})(X_2^{P_2})……X_N^{P_N})Y=A(X1P1)(X2P2)……XNPN)Y=A(X_1^{P_1})(X_2^{P_2})……X_N^{P_N})Y=A(X1P1​​)(X2P2​​)……XNPN​​)，且各输入量不相关时：\frac{u_c(y)}{|y|}=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}[P_iu(x_i)/x_i]^2}uc(y)∣y∣=∑i=1n[Piu(xi)/xi]2\frac{u_c(y)}{|y|}=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}[P_iu(x_i)/x_i]^2}∣y∣uc​(y)​=i=1∑n​[Pi​u(xi​)/xi​]2​.当P=1时，可简化成：\frac{u_c(y)}{|y|}=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}u(x_i)/x_i]^2}uc(y)∣y∣=∑i=1nu(xi)/xi]2\frac{u_c(y)}{|y|}=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}u(x_i)/x_i]^2}∣y∣uc​(y)​=i=1∑n​u(xi​)/xi​]2​.即u_{rel}(y)=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}u_{rel}(x)}urel(y)=∑i=1nurel(x)u_{rel}(y)=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}u_{rel}(x)}urel​(y)=i=1∑n​urel​(x)​.即相对的形式表现。相对标准不确定度的合成。⑶输入量间相关系数均为+1时，合成标准不确定度u_{c}ucu_{c}uc​的评定当所有输入量都相关，且相关系数为1，且灵敏系数也为1时：u_c(y)=\sum\limits_{i=1}^{N}u(x_i)uc(y)=∑i=1Nu(xi)u_c(y)=\sum\limits_{i=1}^{N}u(x_i)uc​(y)=i=1∑N​u(xi​).即，当输入量都正强相关，且灵敏系数为1时，合成标准不确定度是个输入量标准不确定度分量的算术和。不需要再用方和根法直接合成。⑷输入量间相关时的处理方法在以下情况时可取协方差为零或忽略不计

用同时观测两个量的方法确定协方差估计值

用同时观测两个量的方法确定相关系数的估计值

用经验公式估计相关系数

当两个量均因与同一个量有关而相关时，协方差的估计方法

采用适当方法去除相关性

⑸合成标准不确定度的有效自由度的计算根据输入量标准不确定度的自由度计算得到的合成标准不确定度u_c(y)uc(y)u_c(y)uc​(y)的自由度称为有效自由度，用v_{eff}veffv_{eff}veff​表示。下列情况需要计算有效自由度当需要评定U_pUpU_pUp​时，为求得k_pkpk_pkp​,必须计算有效自由度当用户为了解所评定的不确定度的可靠程度而提出要求时。计算公式：

实际计算时v_{eff}veffv_{eff}veff​不一定是整数。如果不是整数，将v_{eff}veffv_{eff}veff​的数字舍位到最接近的一个较低的整数。⑹合成标准不确定度计算流程。

⑤扩展不确定度的确定⑴确定扩展不确定度的流程

⑵扩展不确定度U的评定方法

k=2,一包含概率约为95%;k=2,一包含概率约为95%以上。⑶明确规定包含概率时扩展不确定度U_pUpU_pUp​的评定方法U_p=k_pu_cUp=kpucU_p=k_pu_cUp​=kp​uc​.输出接近t分布时k_pkpk_pkp​的确定

当合成分布为非正态分布时k_pkpk_pkp​的选取

⑥表示不确定度的符号：

蒙特卡洛法评定测量不确定度的步骤和方法用概率分布传播的方法来评定测量不确定度的方法。㈠MCM法评定测量不确定度的步骤⑴MCM输入⑵MCM传播⑶MCM输出⑷报告结果㈡MCM法评定测量不确定度的方法⑴建立测量模型⑵对每个输入量设定PDF⑶选定MCM实验数⑷输入量概率分布的抽样及模型值计算⑸输出量分布函数的离散表示⑹输出量的估计值及其标准不确定度和包含区间⑺报告评定结果GUM法与蒙特卡洛法（MCM）的比较区别：在GUM法中输入量的信息是最佳估计值、标准不确定度、自由度和协方差通过不确定度传播率来确定输出量的合成标准不确定度，从而得到扩展不确定度适用条件：可以假设输入量的概率分布呈对称分布可以假设输出量的概率分布近似为正态分布或t分布测量模型为线性模型或者可以转为线性模型在MCM法中输入量是概率密度函数利用概率分布传播，并在此基础上确定被测量的估计值、标准不确定度及包含区间。适用条件：测量模型明显非线性输入量的概率分布明显非对称输出量的概率分布较大程度的偏离正太分布或t 分布，尤其是明显非对称分布两种评定方法的比较：

用MCM验证GUM法的结果

测量结果的处理和报告最终报告时测量不确定度的有效位数及数字修约规则1️⃣测量不确定度的有效位数1.什么叫有效数字通常规定：近似值修约误差限的绝对值不超过末位的单位量值的一半，该数值的从其第一个不是零的数字起到最末一位的全部数字都是有效数字。如

数据修约的定义：对某一个数字，根据保留数位的要求，将多余位的数字按照一定规则进行取舍。2.测量不确定度的有效数字位数报告的测量不确定只能有一位或两位有效数字。中途运算的时候，可以保留多位。测量不确定度的有效位数，主要取决于修约误差限的绝对值占测量不确定度的比例大小。经修约后近似值的误差限称修约误差限（修约误差）。当第一位有效数字是1或2时，应保留两位有效数字。当测量要求不高的时候可以保留一位有效数字；要求高的时候，保留两位。2️⃣数字修约规则1.通用的数字修约规则四舍六入，逢五取偶。2.测量不确定度的可选数字修约方式可将保留数末位后的数字全都进位。报告测量结果的最佳估计值的有效位数的确定被测量的最佳估计值的末位一般应修约到与其测量不确定度的末位对齐。同单位情况下，如果有小数点，则小数点后的位数一样，如果是整数，则末位一致。

测量结果的表示和报告1️⃣完整的测量结果的报告内容1.完整的测量结果应包含：

被测量的最佳估计值测量不确定度2.给出测量不确定度时，应对测量不确定度由充分详细的说明。2️⃣用合成标准不确定度报告测量结果1.以下情况报告测量结果时使用合成标准不确定度⑴基础计量学研究；⑵基本物理常量测量；⑶复现国际单位制单位的国际比对；合成标准不确定度可以表示测量结果的分散性大小，既便于测量结果间的比较，也便于使用该结果的其他测量获得其标准不确定度。

2.带有合成标准不确定度的测量结果的表示

3️⃣用扩展不确定度报告测量结果1.什么时候用扩展不确定度除上述外，通常用扩展不确定度表示。2.带有扩展不确定度的测量结果报告的表示⑴要给出估计值以及扩展不确定度对于扩展不确定度，要给出kkkk值。

⑵带有扩展不确定度的测量结果的报告形式扩展不确定度有UUUU和U_pUpU_pUp​两种。举例：

⑶相对扩展不确定度的表述U_{rel}=\frac{U}{|y|}Urel=U∣y∣U_{rel}=\frac{U}{|y|}Urel​=∣y∣U​.报告举例：

⑷其他注意事项①表述和评定测量不确定度时应采用规定的符号②单独表示不确定度时，不要加“±”号③在给出合成标准不确定度时，不必说明包含因子kkkk或包含概率pppp。④对于扩展不确定度UUUU，k=2或k=3时，不必说明pk=2或k=3时，不必说明pk=2或k=3时，不必说明pk=2或k=3时，不必说明p。